Modele nie ujawniają i nie mogą ujawniać całej prawdy

Większość ludzi, którzy nie studiowali matematyki, uważa, że ​​matematyka jest statyczną budowlą prawdy. Powszechnie uważa się, że symbole matematyczne reprezentują idee i że istnieją logiczne reguły, których można użyć do tworzenia nowych idei: zwane dowodami twierdzeń. Ludzie postrzegają twierdzenia i idee, które reprezentują, jako obraz świata, który jest przewidywalny i znany. To, co wydaje się powstrzymywać większość ludzi przed dążeniem do głębszej wiedzy, to fakt, że jest to naprawdę trudne. I naprawdę nudne, prawda? 

W ciągu ostatnich kilku lat ten statyczny pogląd na matematykę przejawiał się jako zależność od modeli. Były to rzeczywiste modele matematyczne, takie jak przewidywanie liczby infekcji i sposobu rozprzestrzeniania się wirusa, a także bardziej ogólne modele mentalne, takie jak całkowite poleganie na nauce w dyktowaniu, jak wszyscy powinniśmy się zachowywać – czy powinniśmy poddać się kwarantannie? Czy powinniśmy się maskować? Czy powinniśmy trzymać się sześciu stóp od siebie? 

Ten punkt widzenia mocno trzyma się idei, że prawda, której szukamy, jest zasadniczo podyktowana przez naturalny świat, który jest racjonalny, mechanistyczny i przewidywalny.

Oczywiście jako jednostki mamy psychologiczne ograniczenia, które uniemożliwiają nam całkowicie obiektywne spojrzenie na prawdę. W swojej znakomitej książce 12 zasad życia Jordan Peterson omawia, w jaki sposób nasze postrzeganie jest zawsze skupione i jak brakuje nam większości tego, co świat ma nam do pokazania. Cytuje badania psychologiczne, aby udowodnić swój punkt widzenia, i ilustruje, jak bardzo stara jest ta obserwacja, wymieniona jako maya w starożytnych hinduskich tekstach wedyjskich. 

Mamy więc psychologiczne ograniczenie, które uniemożliwia nam zobaczenie wszystkiego na świecie i pozwala jedynie na wąskie, skupione spojrzenie, które jest częściowo napędzane naszymi pragnieniami. Dotyczy to zarówno naukowców i decydentów politycznych, jak i ludzi zajmujących się innymi zajęciami. 

Obietnicą nauki jest oczywiście obejście tego problemu. Istnieje taka metoda, sposób na dokładne zdefiniowanie eksperymentów, aby tą obiektywną prawdą podzielić się z innymi i dojść do wspólnego zrozumienia otaczającego nas świata. Szczytem nauki jest wiara w to, co racjonalne, że modele stanowią podstawę obiektywnej rzeczywistości. Ale nawet nauka ma swoje ograniczenia w prawdzie, którą może dostarczyć. 

Zagłębiając się w naukę, docierasz do matematyki. Z pewnością stanowi to podstawę logicznego myślenia, a prawdy matematyczne są kompletne. 

Większość ludzi nie wie, chyba że studiujesz matematykę na poziomie magisterskim, że sama podstawa matematyki nie jest tak stabilna, jak mogłoby się wydawać, i że idea tego, co można, a czego nie można udowodnić, jest t tak cięte i suche. Rewelacje matematyczne prawie sto lat temu zburzyły mechanistyczny pogląd na świat.

Przed przełomem XIX i XX wieku wielu najzdolniejszych matematyków koncentrowało się na zrozumieniu jego podstaw. Dla matematyka fundamenty to te bardzo podstawowe elementy zrozumienia, które służą jako budulec wszystkiego innego. Z fundamentów wynika wszystko inne.

Bertrand Russell, logik i filozof z tego okresu, współpracował z matematykiem-filozofem Alfredem North Whiteheadem, aby skonstruować matematykę na podstawie pierwszych zasad. Wspólnie stworzyli gigantyczną pracę opisującą, w jaki sposób cała matematyka może zostać wygenerowana z kilku podstawowych idei i reguł. Trzytomowy tom, wydany w latach 1910-1913, nosił tytuł Principia Mathematica.

Aby dać ci wyobrażenie o abstrakcyjności tego dążenia, zacznijmy od fundamentalnej prawdy o naszej ludzkiej percepcji. Stwierdza, że ​​zasadniczo wiemy, jak oddzielić jeden obiekt od drugiego, a następnie możemy zacząć grupować te obiekty.

Tak się zaczyna: pierwszy zestaw to nicość. (Naprawdę!) Ale pomysł z niczego jest coś. Jeśli zidentyfikujemy zbiór zawierający jedną rzecz, tę nicość, mamy teraz zbiór, który jest większy niż nic iw ten sposób możemy zdefiniować liczbę 1. Tak to wygląda, z określonymi regułami, jak przejść od jednej matematycznej rzeczy do drugi, zasady logiki, budujące cały znany wszechświat matematyki. 

W tamtym czasie społeczność matematyczna uważała to za fantastyczny postęp. Toczyły się dyskusje na temat tego, co to oznacza dla ludzkiego zrozumienia. Na przykład, jeśli całą prawdę matematyczną można wygenerować przy użyciu podstawowych zasad i reguł logicznych, po co w ogóle potrzebujemy matematyków? Komputer (gdy już zostanie opracowany) mógłby ślepo iść do przodu, tworząc nowe twierdzenia z niczego. Jeśli wierzysz, że matematyka jest językiem natury, to zapewniłoby to mechanistyczny sposób na odkrycie wszystkich tajemnic natury. 

Marzenia o fundamentalnych podstawach matematyki żyły przez półtorej dekady, dopóki nie zostały na zawsze zniszczone przez młodego czeskiego matematyka imieniem Kurt Godel. W 1930 Gödel przedstawił dowód, który wyraźnie to potwierdza Principia Mathematica była niekompletny. Istotą tego, co powiedział, jest to, że wewnątrz każdy system formalny:

Są rzeczy, których prawdziwości nie można udowodnić.

O dziwo, Gödel udowodnił to twierdzenie Budowa. Oznacza to, że faktycznie pokazał, że używając reguł Principia Mathematica mógł stworzyć takie stwierdzenie, które było prawdziwe, ale którego nie można było udowodnić zgodnie z zasadami. Jak on takie coś skonstruował? 

Zaatakował nadrzędny cel Principia z genialna nowa metoda w logice. Z każdą prawdą powiązał liczbę, a z każdą regułą logiczną powiązał sposób przejścia od liczb prawdziwych do innych liczb prawdziwych. Każdy krok był również powiązany z liczbą. Następnie, używając liczb przeciwko sobie samym, stworzył nową liczbę, która musiała być liczbą prawdziwą, ale której nie można było uzyskać za pomocą innych liczb. 

To właśnie ten rekurencyjny mechanizm, w którym liczby były zarówno stwierdzeniami, jak i krokami instrukcji, zainspirował to odkrycie. Odkrył więc, że istnieje liczba odpowiadająca stwierdzeniu, które było prawdziwe w ramach zasady, ale których nie można było udowodnić za pomocą reguł generowania liczb prawdziwych. 

Jednym ciosem Gödel zniszczył lata pracy Russella i Whiteheada oraz dziesiątki innych logików poszukujących nirwany fundamentalnej prawdy, która zbudowałaby całą matematykę, a co za tym idzie, nasze rozumienie fizycznego wszechświata. 

Zasadniczo użył potęgi logiki i liczb przeciwko sobie. 

To jest ważne.

Bez względu na to, co zrobiłeś jako matematyk, bez względu na to, jaki model stworzyłeś, bez względu na to, jak dokładnie zdefiniowałeś podstawowe założenia i reguły, nigdy nie osiągnąłeś pełnego zrozumienia tematu, który próbowałeś studiować. 

Dzieło Gödla istnieje tylko w dziedzinie matematyki. Nie dowodzi niczego w dziedzinie naukowej lub ludzkiej, z wyjątkiem przypadków, gdy przecinają się one z matematyką. Ale może wpływać na rzeczywiste decyzje w naszym życiu. 

Ciągle otrzymujemy od ekspertów pomysły, które pokazują nam sposób życia i wiary. Wszystkie są modelami, przypuszczalnie opartymi na racjonalności i logice. Te idee są przedstawiane jako ostateczność. Przedstawia się je tak, jakby innej prawdy nie było. Gödel pokazał nam, że ten mechanistyczny pogląd na naturę nie wytrzymuje najbardziej podstawowej analizy logiki. 

Istnieją ludzkie prawdy.

Istnieją duchowe prawdy.

W kosmosie są głębsze prawdy, których nie wolno nam zrozumieć.

Ilekroć polityk, władza, a nawet przyjaciel mówi ci, że wszystko jest znane, że istnieje model, który określa prawdę i że podążając za tym modelem, poznasz przyszłość, bądź sceptyczny. Istnieją tajemnice wykraczające poza ludzkie zrozumienie, które wymykają się nawet najgłębszemu logicznemu rozumowaniu człowieka. 

I to zostało udowodnione przez mężczyznę.